線形代数はもともと連立方程式の考察から始まった。連立方程式では、未知変数の数が増えると解の様子を調べることは意外と難しくなります。 そこで、連立方程式を線形写像として取り扱う必要があります。
連立方程式は解を持ったり持たなかったりします。また、解を持つ場合には唯一つだけ持つ場合と無数に保つ場合があります。 解を持つための条件は何なのでしょうか。中学校では、それは2つの直線が平行かどうかで判断します。
しかし、この方法では未知変数の個数が増えたときに高次元の図形を考えなければなりません。 例えば三元連立一次方程式では3次元空間内の平面の交わりを考えなければならず、 四元連立一次方程式ともなると4次元空間内の3次元超平面について考えなければなりません。 しかし線形代数を使えばこんな難しいことも簡単に計算できてしまうのです。
そこで連立方程式の解をすべて集めてきた集合を調べます。これが連立方程式の解空間と呼ばれるものです。解空間が分かればその連立方程式の答えが複数あってもそれがすべて分かったことになるのです。 連立方程式の解空間は全体の集合 の部分空間を平行移動したものになります。 n元一次連立方程式 の解空間は、解全体の集合が広がりを持った空間になっている 。それは はベクトル空間となっているので次元が定義できます。 の次元のことを解空間の自由度といいます。
連立方程式を解くための掃き出し法は、解が存在するかどうか、そして解が存在する場合、解空間がどのような集合かが簡単な操作を繰り返すことによって分かってしまいます。 行基本変形と呼ばれる変形を繰り返し施すことによって点線の左側の正方行列を単位行列にします。 しかし、単位行列に出来なくても、すべての行列は階段行列という行列の形に変形することが出来ます。 行列の階数(rank) を使って連立方程式に解が存在するかどうかを判定する 行基本変形によって階段行列にします。 階段の段の数が増えていたらその連立方程式には解がありません。また、逆に段の数が増えていなければ解があります。 解を持つための必要十分条件は双方の 行列の階数(rank) ＝ 行列の階数(rank) が成り立つことである。次元定理はベクトル空間における準同型定理の系として得られ、ベクトル空間においては部分空間で割ると部分空間の次元を引き算したものに同型になる。
商空間とはクラスの集合に演算の構造が入っている時、そこのメンバーが一糸みだれず団体行動をしているイメージが大事との説明。ベクトルの持つ本質的な性質だけを抜きだして抽象的ベクトル空間で議論すると普遍性が得られる。群・環・体もある演算の大事性質だけ抜きだして抽象化して論理展開する。
線形空間をより一般化（抽象化）した観点では「環上の加群」と言われる。
合同のように同じものを同じと思える感覚が実数体の多項式環をイデアルで割った商環が複素数体と同型、つまり、それらは見かけは全く違うがそこでの和と積の代数構造が全く同じ対応がつくという同型を見抜く数学の感覚が大事。
私のお薦めは「線形代数のコツ 」「超入門 線形代数」小寺
「1冊でマスター 大学の線形代数」
「プログラミングのための線形代数」や「図で整理!例題で納得!線形空間入門」。
ネットで「線形写像の核を求める」を検索し併読しよう。
大学のyou tube動画大学のyou tube動画「線形代数 II 2017 (2-3) 線形写像の像と核」
「群論12 カーネル(核)の定義と性質 群論」
「【13】核と像{KerfとImf}を詳しく説明します！カーネル,イメージ(具体例付き)【数学 線形代数】」
「慶應大学 理工学部 講義 物理情報数学B 第一回」「【代数学#56】拡大次数」「量子空間の世界 非可換方程式を解いてみよう！」
「【線形代数】逆行列の求め方【テスト対策】」とのへ併読がお薦め。
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